1、考虑一个映射π：
R→R'
r→r+J
把R的每个元素r，映射到相应的陪集r+J里面。
2、这个映射一般是不可逆的。
因为R的两个不同的元素，很可能映射到同一个陪集里面。
3、如果I是R的某个理想，那么，π(I)就是R'的理想。
这只需要证明π(I)*R'=π(I)，也就是乘法保持封闭。
4、如果I'是R'的一个理想，那么，I'关于π的原像I就是R的理想。
这一点可以使用反证法证明。
注意，步骤二指出了，映射π一般不可逆，所以，并不能根据I'求出I。
5、如果I、J是R的理想，R'=R/J，映射π：
R→R'
r→r+J
在这个映射下，I'=π(I)就是R'的理想。
求证：R/I与R'/I'同构。
为此，考虑一个映射φ：
R'→R'/I'
r'→r'+I'
6、π与φ的合成，记为ρ，它把R映射到R'/I'上：
R→R'→R'/I'
r→r+J→r+J+I'
这个映射，把I映射为I'。
这就完成了证明R/I与R'/I'同构。
