1、等宽曲线一定是凸曲线；而光滑的等宽曲线，上面的每一个点的切线，就是相应位置的支持线。如果给出某条凸曲线的支持函数：f缪梨痤刻[t_] := 2 Cos[3 t/2]^2 + 8我们就可以画出这条凸曲线：ParametricPlot[{f[t] Cos[t] - f'[t] Sin[t],f[t] Sin[t] + f'[t] Cos[t]}, {t, 0, 2 Pi}]
2、x[t_] := f[t] Cos[t] - f&拭貉强跳#39;[t] Sin[t]y[t_] := f[t] Sin[t] + f'[t] Cos[t]我们需要证明唁昼囫缍这是一条光滑的等宽曲线。光滑的意思就是，切线的方向是连续变化的，这条曲线显然满足要求。再证明这是凸曲线，先求出曲线在任意点的相对曲率：(x'[t]*y''[t] - x''[t] y'[t])/(x'[t]^2 + y'[t]^2)^(3/2)由此可知，无论t取什么实数，相对曲率都不会变号，因此，这是凸曲线。
3、再证明，在参数等于t、t+Pi的两条切线是平行的。也就是证明，y'[t]*x'[t + Pi] - y'[t + Pi]*x'[t]等于0：y'[t]*x'[t + Pi] - y'[t + Pi]*x'[t] // FullSimplify
4、最后，证明等宽。Total[({x[t], y[t]} - {x[t + Pi], y[t + Pi]})^2] //FullSimplify // Sqrt从而，我们证明了这是一条处处光滑的等宽曲线。
5、再换一个例子试试：f[t_] := 2 Cos[5 t/2]^2 + 8但是，这不是一条等宽曲线，甚至不是一条凸曲线。可是为什么代数判断都符合呢？这里需要特别注意，要通过相对曲率来判断某条闭合曲线是不是凸曲线，先得保证这条曲线是简单曲线，没有自交点。
6、再试试这条曲线：f[t_] := Cos[5 t/2]^2 + 19
