1、 函数为幂函数的四则运算，可知函数的自变量可以取全体实数，即定义域可以为：(-∞，+∞)。
2、函数的单调性，求出函数的一阶导数，通过函数的一阶导数，判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
∵ y= 3 x5 + x + 5
∴ y'= 15 x4 + 1
又∵ x4 ≥ 0
∴ y' > 0
即函数y在定义域范围内为单调增函数。
3、举例求解点A（-1,1）处的切线，主要步骤如下：
此时y'=16，由直线的点斜式可求出点A处的切线方程为：
y-1=16(x+1).
4、函数的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹性。
∵ y'= 15 x4 + 1
∴ y＂= 60 x3 令y＂=0，则x=0。
则：
（1）当 x ≥ 0 时， 函数y为凹函数；
（2）当 x ＜ 0 时， 函数y为凸函数；
5、如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。
6、由函数性质，解析函数的极限，判断函数在无穷大处的极限。
lim
x→-∞3x5+x+5==-∞
lim
x→03x5+x+5=5
lim
x→+∞3x5+x+5==∞
7、函数五点图，由函数表达式，解析函数部分点如下：
8、函数的示意图，综合以上函数的定义域、值域、单调性等性质，函数的示意图如下：
