CTFT,DTFT,DFT,FFT分别指的是:连续时间傅里叶变换,离散时间傅里叶变换,离散傅里叶变换,快速傅里叶变换.这四种变换在诸多领域中十分常见,例如信号处理,数字图像处理等.本经验将详细介绍这四种变换的联系.
工具/原料
傅里叶变换基本性质
梳状函数基本性质
各种傅里叶变换的定义
1、连续时间傅里叶变换的定义:简称为CTFT,即continuous-time Fourier transform,其定义如下图所示.此处的连续时间并不一定指代被变换函数为时间变量的函数,例如在光学上,其可指代连续的空间变量.注:此处考虑了1D的情形,多维情形可直接进行扩展即可.
3、离散傅里叶变换的定义:简称为DFT,即discrete Fourier transform.以上的两个定义式中,连续时间傅里叶变换在计算G(f)时需要对g(x)进行连续积分,这在计算机上是不现实的;离散时间傅里叶变换虽然采用了离散样本计算,可是对于定义在无穷时间变量上的函数,则需要无穷多个样本,从而也不具被数值计算可行性.为了充分利用计算机的数字特点,定义下图的离散傅里叶变换.
3、通过对离散时间函数的周期化,可以实现频谱计算的实践可能性.但是,周期化可能造成离散时间函数的互相干扰,当离散时间函数样本有限时,选择的周期化周期需不小于有效样本的持续时间;但是对于无限样本的离散时间函数样本,则必然造成周期间干扰,从而影响计算机频谱计算的准确度.此时,只能根据需要进行适当的权衡,保证精度的同时,不致采用极多的样本.
4、对连续时间函数的采样同样造成连续时间函数频谱的周期化,而为了避免周期间混叠,需要采用极小的时间域采样周期,采样周期越小,频域内周期越大,从而周期间干扰极小,甚至可以忽略.所以,采用DFT进行频谱计算时,一定要慎重选择采样间隔及样本数目.
