凹函数的性质：如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）
如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。
如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是正值。
凹函数特点
如果f(x)是凹函数，那么－f(x)即是凸函数，通常都是把凹函数转化为凸函数来研究。如果一元实函数f(x)在某区间二阶可导，那么这一函数为凹函数的充要条件是在这一区间上恒有f''(x)大于等于0(对于严格凹函数，只要改成f''(x)>0就可以了）。
在数学当中，凹函数是凸函数的相反。与凸函数（下凸）对比，这里的凹函数（上凸）应有：如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为凹函数。
