步骤如下：
设f(x)为多项式，假设x=1为其一有理根，则（x-1）整出f（x），即f（x）＝（x-1）＊g（x）；
剩余除法也就是带余除法，在整数中的带余除法为：A跟B为两整数，则存在整数q与r（r小于A），使得A=B*q+r.多项式中求有理根，其实是事先已经把多项式可能有的根全部找出来。
利用剩余除法去验证根的正确性，上例中关于根1的验证是：直接用x-1去除以f(x),能整出则为f（x）根，有余项则不是其有理根。
高斯引理
两个本原多项式的乘积是本原多项式。
应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。
关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式,如果有一个素数p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0，但不能整除αn,且pˆ2不能整除常数项α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。
因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。
