1、【向量的减法】首先，我们知道，对于两个向量 u 和 v ，其和u + v 表示这两次向量的叠加。借用向量加法的规则，我们很容易理解向量的减法 u - v = u + (-v) 可以表示为三角形的第三边：
3、有了向量长度的记号，后续推导就清晰得多了。我们把u、箪滹埘麽v之间的夹角记作θ，则根据余弦定理，显然有：||u - v||² = ||u||² + |匀舶热圾|v||² - 2||u||*||v||* cosθ简单移项：||u||*||v||* cosθ = 1/2[||u||² +||v||² -||u - v||²] = 1/2[ u₁²+ u₂² + v₁² +v₂² - (u₁ -v₁)² - (u₂ -v₂)²] =u₁v₁+u₂v₂
4、这其实是一个一般公式，对任意u、v向量都适用。为了简化上面这个公式，我们不妨取两个单位向量来替代这里的一般性向量（所谓单位向量就是长度为1的向量），令：u= (cosα, sinα)v= (cosβ, sinβ)显然，这里的||u||、||v||都是1。然后带入上面的公式：cosθ=cosαcosβ + sinαsinβ这里的θ表示二者的夹角，故θ = α-β：cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ命题得证。
